什麼是調變傳輸函數？
調變傳遞函數的定義
調變傳遞函數 (MTF) 是一種性能指標，用於衡量影像中對比度相對於物體中對比度的劣化程度。隨著對比度劣化，觀察者會發現越來越難以區分影像中的微小特徵。造成對比度劣化的因素有多種，例如繞射效應、光學像差和漸暈。因此，您可以使用 MTF 來評估和比較光學系統。
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決定系統 MTF
若要決定系統 MTF，您可以使用具有完美對比度的正弦圖案作為物體。影像對比度定義為：
其中 Imax 和 Imin 分別為最大和最小輻照度。對比度可取的最大值為 1，最小值為 0。
正弦圖案的一個週期對應於一個黑白條紋。每個週期也稱為一個線對 (lp)。空間頻率通常以每單位距離的線對或週期數來測量，單位通常為毫米。因此，空間頻率單位通常表示為 lp/mm 或 週期/mm。對於無焦系統，單位會轉換為角頻率，通常以週期/毫弧度來測量。
圖 1. 光學系統會導致影像中對比度相對於物體中對比度的劣化。
圖 1 顯示了系統對單一頻率的響應，然而，MTF 測量的是連續頻率直到截止頻率 fc 的響應。截止頻率是系統可解析的最高頻率，其定義為：
MTF 是二維空間頻率向量的函數，但通常以一維圖呈現。在這種表示方式中，將響應與理想系統的響應進行比較會很有用。在無像差系統中，對比度僅受繞射效應劣化。圖 2 中的虛線顯示了無像差系統的 MTF，其標示為「繞射極限」。
圖 2. 光學系統的軸上 MTF 圖與繞射極限 MTF 圖的比較。輸出影像在低頻時呈現出色的對比度，在高頻時呈現較差的對比度，模擬了 MTF 圖。
對於離軸視場點，MTF 結果取決於條紋圖案的方向。通常會顯示每個視場點的切線 (T) 和徑向 (R) 方向，如圖 3 所示。在切線目標中，條紋與影像圓相切；在徑向目標中，條紋平行於徑向。
圖 3. 切線和徑向方向的離軸 MTF 圖。在 CODE V 中，目標條紋是相對於 Y 軸的。徑向 MTF 對應於垂直條紋，切線 MTF 對應於水平條紋。
有時測量穿焦 MTF 會很有用，它顯示了選定頻率的 MTF 作為離焦位置的函數。另一個資訊豐富的 MTF 圖表是 MTF 對視場點，它顯示了選定頻率的 MTF 作為視場點的函數。這些圖的範例顯示在圖 4 中。
圖 4. MTF 對離焦位置（左）和 MTF 對視場（右）圖表的範例。
對比傳遞函數
到目前為止，我們已經描述了代表單一頻率的正弦波目標。系統對方波圖案的響應稱為對比傳遞函數 (CTF)。CTF 對於成像具有方波特徵的物體（例如條碼讀取器）的系統來說，可能是更合適的性能指標。在計算上，您可以透過疊加一系列正弦波響應值來近似 CTF。
圖 5. 軸上 CTF。目標是方波圖案，而非弦波圖案。
設計過程中的 MTF 考量事項
光學設計師不一定以達到繞射極限性能為目標。所需的 MTF 曲線是根據設計要求而定。鏡頭規格通常以特定頻率的 MTF 值形式呈現。MTF 規格可能來自感測器像素尺寸和奈奎斯特定理，該定理描述了感測器可解析的最大空間頻率。
例如，假設一個數位感測器的像素尺寸為 7.4 μm x 7.4 μm。根據奈奎斯特定理，可解析的最高頻率為 1 週期/(2 x 7.4 um) = 0.0676 週期/μm ≈ 68 週期/mm。根據感測器特性，鏡頭的典型性能要求可能為：
- 在 17 週期/mm 時 MTF > 50%，以及
- 在 68 週期/mm 時 MTF > 25%。
圖 6 顯示了滿足所有視場這些要求的鏡頭 MTF 圖表。在設計過程中了解感測器特性非常重要，因為在許多情況下，感測器的奈奎斯特頻率僅為繞射截止頻率 fc 的一小部分。
圖 6. 在 17 週期/mm 時 MTF > 50% 且在 68 週期/mm 時 MTF > 25% 的系統。
另一個有用的考量是，對於小像差，MTF 的劣化發生在接近繞射截止頻率的一半處。這是因為零頻率下的 MTF 始終為 1，而繞射截止頻率下的 MTF 為零。如果將有像差的 MTF 量測為無像差 MTF 的比率，結果將是一個中間下凹的函數。
您如何在實務中量測 MTF？
在實驗中，您可以透過不同方式量測光學系統的頻率響應，例如使用傾斜邊緣目標或三條紋目標。這些目標易於使用，因為它們只需成像即可。
三條紋目標是量測解析度的常用方法。它由三條具有特定寬度和間距的平行條紋組成，這些條紋對應於特定的空間頻率。為量測系統解析度，請將多個三條紋圖案以特定頻率排列在單一圖表中，並檢查所得影像以確定可解析的最小特徵。
具有這些特徵的常用目標是圖 7 所示的 USAF 1951 圖表。從三條紋目標量測到的解析度可能與預測的 CTF 不同，因為 CTF 假設條紋圖案是無限長的。在條紋數量有限的圖案中，您可能會看到末端效應，這會降低圖案末端條紋的對比度。因此，量測到的對比度可能低於 CTF 的預測值。
另一種實驗量測 MTF 的方法是傾斜邊緣目標。這種方法的不同之處在於，您可以從單一目標獲取頻率資訊。在此方法中，您必須將邊緣相對於感測器的像素陣列設定為指定的微小角度，如圖 7 所示。當輸入是階梯函數而非點光源時，影像處的輻照度分佈是邊緣擴散函數。然後，您可以從邊緣擴散函數導數的傅立葉變換中確定 MTF。
圖 7. 可實驗量測 MTF 的目標範例，包含三條紋圖表（左）和傾斜邊緣目標（右）。
您如何計算 MTF？
為確定如何計算 MTF，首先需要定義點擴散函數 (PSF)、傳遞函數 (TF) 及其與 MTF 的關係。
成像系統的點擴散函數 (PSF) 是當物體為點光源時所產生的輻照度分佈。對於同調光，PSF 與瞳孔函數複振幅的傅立葉變換相關。對於非同調光，PSF 與瞳孔函數強度的傅立葉變換相關。因此，同調和非同調 PSF 的關係如下。
其中 r 是 2D 空間位置向量：
線性、位移不變系統的非同調傳遞函數 r 由非同調點擴散函數的傅立葉變換給出：
其中 p 是 2D 空間頻率向量，F2 表示 2D 傅立葉變換。然後，傳遞函數可以同調 PSF 表示為：
相干光瞳函數 pf(r) 是出射光瞳球面處波前的複振幅。其相位（相對於參考球面）由像差決定，而振幅在光瞳邊界內為單位值，或由特定的變跡函數決定。
由於相干點擴散函數 (PSF) 與相干光瞳函數 pf(r) 的傅立葉變換相關，因此傳遞函數也可以寫成：
其中 B 是一個常數因子，取決於光源波長以及點光源與光瞳之間的距離，而星號 ⋆ 表示自相關。因此，非相干傳遞函數與光瞳函數的複自相關相關。將傳遞函數相對於 TF(0) 進行正規化是很方便的。其結果稱為光學傳遞函數 (OTF)：
調變傳遞函數 (MTF) 是光學傳遞函數的模數：
因此，您可以透過計算光瞳函數的複自相關，或計算非相干點擴散函數 (PSF) 的傅立葉變換來得出 MTF。使用 MTF 的定義，OTF 可以用複數形式表示為：
其中 p(p) 是相位。MTF 只能取正值，但當發生相位反轉時，OTF 可以為負值。對於條紋圖案的影像，這將導致對比反轉，意味著白色特徵變暗，而黑色特徵變亮。
在 MTF 圖中，MTF 曲線會達到零然後「反彈」。務必注意這種行為。反彈後，即使 MTF 在較低頻率處達到零，其技術上仍會增加。另一個可能的影響是，如果在優化過程中將 MTF 用於誤差函數，相位反轉可能會產生局部最小值。
其他常見的系統規格是史特雷爾比 (Strehl ratio) 和 RMS 波前誤差。對於小像差，指定史特雷爾比等同於指定 RMS 波前誤差。史特雷爾比定義為測量到的 PSF 峰值強度與完美 PSF 峰值強度之比。MTF 與非相干 PSF 的逆傅立葉變換相關。
因此，您可以將史特雷爾比表示為整個 MTF 曲線下的積分，包括超過奈奎斯特頻率（不相關）的頻率。基於這個原因，在奈奎斯特頻率遠低於繞射截止的情況下，指定零頻率到奈奎斯特頻率之間的 MTF 比指定史特雷爾比或 RMS 波前誤差更有意義。
使用 CODE V
CODE V 是一款功能強大的光學設計工具。其進階分析工具包括透過評估光瞳函數的自相關來計算 MTF，以及透過計算一系列正弦波響應值的總和來計算 CTF。
參考資料
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