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Was ist die Modulationsübertragungsfunktion?
Definition der Modulationsübertragungsfunktion
Die Modulationsübertragungsfunktion (MTF) ist ein Leistungsmaß, das die Kontrastverschlechterung im Bild im Vergleich zum Kontrast des Objekts misst. Mit abnehmendem Kontrast fällt es dem Betrachter zunehmend schwerer, kleine Details im Bild zu erkennen. Verschiedene Faktoren verursachen Kontrastverschlechterungen, wie beispielsweise Beugungseffekte, optische Aberrationen und Vignettierung. Daher kann die MTF zur Bewertung und zum Vergleich optischer Systeme verwendet werden.
Inhaltsübersicht
Bestimmung der System-MTF
Zur Bestimmung der MTF des Systems kann ein sinusförmiges Muster mit perfektem Kontrast als Messobjekt verwendet werden. Der Bildkontrast ist wie folgt ausgelegt:
Dabei bezeichnen I max und I min die maximale bzw. minimale Bestrahlungsstärke. Der maximale Kontrastwert ist 1, der minimale Wert ist 0.
Ein Zyklus des sinusförmigen Musters entspricht einem schwarzen und einem weißen Streifen. Jeder Zyklus wird auch als Linienpaar (lp) bezeichnet. Die Ortsfrequenz wird häufig in Linienpaaren oder Zyklen pro Längeneinheit (typischerweise Millimeter) gemessen. Daher wird die Ortsfrequenz üblicherweise als lp/mm oder Zyklen/mm angegeben. Bei afokalen Systemen werden die Einheiten in Winkelfrequenzen umgerechnet, die typischerweise in Zyklen/Milliradian gemessen werden.
Abbildung 1. Ein optisches System verursacht eine Kontrastverschlechterung im Bild im Vergleich zum Kontrast im Objekt.
Abbildung 1 zeigt die Reaktion des Systems auf eine einzelne Frequenz. Die MTF misst jedoch die Reaktion auf kontinuierliche Frequenzen bis zur Grenzfrequenz f c . Die Grenzfrequenz, also die höchste Frequenz, die das System auflösen kann, ist gegeben durch:
Die MTF ist eine Funktion eines zweidimensionalen Ortsfrequenzvektors, wird aber üblicherweise als eindimensionales Diagramm dargestellt. Diese Darstellungsform eignet sich gut zum Vergleich mit der eines idealen Systems. In einem aberrationsfreien System wird der Kontrast ausschließlich durch Beugungseffekte beeinträchtigt. Die gestrichelte Linie in Abbildung 2 zeigt die MTF für das aberrationsfreie System, die als „Beugungsgrenze“ bezeichnet wird.
Abbildung 2. Vergleich der MTF-Kurve eines optischen Systems auf der optischen Achse mit der beugungsbegrenzten MTF-Kurve. Das resultierende Bild zeigt einen exzellenten Kontrast bei niedrigen Frequenzen und einen geringen Kontrast bei hohen Frequenzen, was der MTF-Kurve entspricht.
Bei Feldpunkten außerhalb der optischen Achse hängt das MTF-Ergebnis von der Ausrichtung des Balkenmusters ab. Üblicherweise werden die tangentiale (T) und die radiale Richtung (R) für jeden Feldpunkt dargestellt, wie in Abbildung 3 gezeigt. Bei einem tangentialen Ziel verlaufen die Balken tangential zum Bildkreis, bei einem radialen Ziel parallel zur radialen Richtung.
Abbildung 3. Off-Axis-MTF-Diagramme für tangentiale und radiale Richtung. In CODE V beziehen sich die Zielbalken auf die Y-Achse. Die radiale MTF entspricht vertikalen Balken, die tangentiale MTF horizontalen Balken.
Es ist mitunter hilfreich, die MTF im Fokusbereich zu messen. Diese zeigt die MTF für ausgewählte Frequenzen in Abhängigkeit von der Defokusposition. Ein weiteres informatives MTF-Diagramm ist die MTF in Abhängigkeit von den Feldpunkten. Hier wird die MTF für ausgewählte Frequenzen in Abhängigkeit von den Feldpunkten dargestellt. Beispiele für diese Diagramme sind in Abbildung 4 zu sehen.
Abbildung 4. Beispiele für MTF-Diagramme in Abhängigkeit von der Defokusposition (links) und der MTF-Diagramme in Abhängigkeit vom Bildfeld (rechts).
Kontrastübertragungsfunktion
Bisher haben wir Sinuswellen-Zielsignale beschrieben, die eine einzelne Frequenz repräsentieren. Die Reaktion des Systems auf ein Rechteckwellenmuster wird als Kontrastübertragungsfunktion (CTF) bezeichnet. Die CTF ist möglicherweise ein geeigneteres Leistungsmerkmal für Systeme, die Objekte mit Rechteckwellenmerkmalen abbilden, wie beispielsweise Barcode-Lesegeräte. Rechnerisch lässt sich die CTF durch die Summe einer Reihe von Sinuswellen-Antwortwerten annähern.
Abbildung 5. On-Axis CTF. Das Zielmuster ist ein Rechteckwellenmuster anstelle eines Sinuswellenmusters.
MTF-Überlegungen während des Designprozesses
Der Optikdesigner strebt nicht zwangsläufig die Beugungsgrenze an. Die gewünschte MTF-Kurve basiert auf den Designanforderungen. Die Linsenspezifikationen liegen üblicherweise in Form eines MTF-Wertes für bestimmte Frequenzen vor. Die MTF-Spezifikation kann sich beispielsweise aus der Pixelgröße des Sensors und dem Nyquist-Theorem ergeben, welches die maximale Ortsfrequenz beschreibt, die der Sensor auflösen kann.
Nehmen wir beispielsweise einen digitalen Sensor mit einer Pixelgröße von 7,4 μm × 7,4 μm an. Gemäß dem Nyquist-Theorem beträgt die höchste auflösbare Frequenz 1 Zyklus/(2 × 7,4 μm) = 0,0676 Zyklen/μm ≈ 68 Zyklen/mm. Basierend auf den Sensoreigenschaften könnte eine typische Leistungsanforderung an das Objektiv lauten:
- MTF > 50 % bei 17 Zyklen/mm und
- MTF > 25 % bei 68 Zyklen/mm.
Abbildung 6 zeigt das MTF-Diagramm einer Linse, die diese Anforderungen für alle Anwendungsbereiche erfüllen würde. Es ist wichtig, die Sensoreigenschaften während des Entwicklungsprozesses zu kennen, da die Nyquist-Frequenz des Sensors in vielen Fällen nur einen Bruchteil der Grenzfrequenz f c der Beugung beträgt.
Abbildung 6. System, das die Anforderungen von MTF > 50 % bei 17 Zyklen/mm und MTF > 25 % bei 68 Zyklen/mm erfüllt.
Ein weiterer wichtiger Aspekt ist, dass bei kleinen Aberrationen die Verschlechterung der MTF in der Nähe der halben Grenzfrequenz der Beugung auftritt. Dies liegt daran, dass die MTF bei der Frequenz Null stets eins beträgt und die MTF an der Grenzfrequenz der Beugung null ist. Misst man die aberrationsbehaftete MTF als Verhältnis zur aberrationsfreien MTF, ergibt sich eine Funktion, die in der Mitte abfällt.
Wie misst man die MTF in der Praxis?
Experimentell lässt sich der Frequenzgang eines optischen Systems auf verschiedene Weise messen, beispielsweise mithilfe des Schrägkanten- oder des Drei-Balken-Testmusters. Diese Testmuster sind einfach anzuwenden, da sie lediglich abgebildet werden müssen.
Das Drei-Balken-Testmuster ist eine gängige Methode zur Messung der Auflösung. Es besteht aus drei parallelen Balken mit bestimmter Breite und einem bestimmten Abstand, der einer spezifischen Ortsfrequenz entspricht. Um die Systemauflösung zu messen, werden mehrere Drei-Balken-Muster bei bestimmten Frequenzen in einem Testmuster angeordnet und das resultierende Bild untersucht, um die kleinsten auflösbaren Strukturen zu bestimmen.
Ein gängiges Testmuster mit diesen Eigenschaften ist die USAF-1951-Karte (siehe Abbildung 7). Die gemessene Auflösung eines Drei-Balken-Testmusters kann von der durch die Kontrastübertragungsfunktion (CTF) vorhergesagten Auflösung abweichen, da die CTF von einem unendlich langen Balkenmuster ausgeht. Bei einem Muster mit einer endlichen Anzahl von Balken können Randeffekte auftreten, die den Kontrast der Balken an den Enden des Musters verringern. Daher kann der gemessene Kontrast geringer sein als von der CTF vorhergesagt.
Eine weitere Methode zur experimentellen Messung der MTF ist die Verwendung eines schrägkantigen Testobjekts. Diese Methode unterscheidet sich dadurch, dass Frequenzinformationen von einem einzelnen Testobjekt gewonnen werden können. Dabei muss die Kante in einem kleinen Winkel zur Pixelanordnung des Sensors positioniert werden (siehe Abbildung 7). Bei einer Sprungfunktion anstelle einer Punktquelle als Eingangssignal entspricht die Bestrahlungsstärkeverteilung im Bild einer Kantenverbreitungsfunktion. Die MTF lässt sich dann aus der Fouriertransformation der Ableitung der Kantenverbreitungsfunktion bestimmen.
Abbildung 7. Beispiele für Testobjekte, mit denen die MTF experimentell gemessen werden kann, mit einem Drei-Balken-Diagramm (links) und einem Testobjekt mit schräger Kante (rechts).
Wie berechnet man die MTF?
Um die Berechnung der MTF zu ermitteln, müssen Sie zunächst die Punktspreizfunktion (PSF), die Übertragungsfunktion (TF) und deren Beziehung zur MTF definieren.
Die Punktspreizfunktion (PSF) eines Abbildungssystems beschreibt die resultierende Bestrahlungsstärkeverteilung, wenn das Objekt als Punktquelle betrachtet wird. Bei kohärentem Licht hängt die PSF mit der Fouriertransformierten der komplexen Amplitude der Pupillenfunktion zusammen. Bei inkohärentem Licht hängt die PSF mit der Fouriertransformierten der Intensität der Pupillenfunktion zusammen. Daher besteht folgender Zusammenhang zwischen kohärenter und inkohärenter PSF.
Wobei r ein zweidimensionaler Ortsvektor ist:
Die inkohärente Übertragungsfunktion r eines linearen, verschiebungsinvarianten Systems ist gegeben durch die Fouriertransformierte der inkohärenten Punktspreizfunktion:
wobei p ein zweidimensionaler Ortsfrequenzvektor und F₂ die zweidimensionale Fouriertransformation bezeichnet. Die Übertragungsfunktion lässt sich dann mithilfe der kohärenten PSF wie folgt ausdrücken:
Die kohärente Pupillenfunktion pf(r) ist die komplexe Amplitude der Wellenfront an der Austrittspupille. Ihre Phase (relativ zur Referenzkugel) wird durch die Aberrationen bestimmt, und die Amplitude ist entweder innerhalb der Pupillengrenze gleich eins oder wird durch eine spezifische Apodisierungsfunktion festgelegt.
Da die kohärente PSF mit der Fouriertransformierten der kohärenten Pupillenfunktion pf(r) zusammenhängt, kann die Übertragungsfunktion auch wie folgt geschrieben werden:
Dabei ist B ein konstanter Faktor, der von der Wellenlänge der Quelle und dem Abstand zwischen Punktquelle und Pupille abhängt, und der Stern ⋆ kennzeichnet die Autokorrelation. Somit ist die inkohärente Übertragungsfunktion mit der komplexen Autokorrelation der Pupillenfunktion verknüpft. Es ist zweckmäßig, die Übertragungsfunktion relativ zu TF(0) zu normieren. Das Ergebnis wird als optische Übertragungsfunktion (OTF) bezeichnet.
Die Modulationsübertragungsfunktion (MTF) ist der Betrag der optischen Übertragungsfunktion:
Daher kann die MTF durch Berechnung der komplexen Autokorrelation der Pupillenfunktion oder durch Berechnung der Fouriertransformierten der inkohärenten PSF ermittelt werden. Unter Verwendung der Definition der MTF lässt sich die OTF in komplexer Form wie folgt darstellen:
Dabei ist p(p) die Phase. Die MTF kann nur positive Werte annehmen, die OTF hingegen kann bei Phasenumkehr negativ sein. Im Bild des Balkenmusters würde dies zu einer Kontrastumkehr führen, d. h. weiße Bereiche werden dunkel und dunkle Bereiche hell.
In einem MTF-Diagramm erreicht die MTF-Kurve zunächst den Wert Null und springt dann wieder an. Dieses Verhalten ist wichtig zu beachten. Nach dem Anspringen steigt die MTF technisch gesehen wieder an, obwohl sie bei einer niedrigeren Frequenz den Wert Null erreicht hat. Ein weiterer möglicher Effekt ist, dass bei Verwendung der MTF in der Fehlerfunktion während der Optimierung Phasenumkehrungen lokale Minima erzeugen können.
Weitere gängige Systemspezifikationen sind das Strehl-Verhältnis und der RMS-Wellenfrontfehler. Bei kleinen Aberrationen ist die Angabe des Strehl-Verhältnisses äquivalent zur Angabe des RMS-Wellenfrontfehlers. Das Strehl-Verhältnis ist definiert als das Verhältnis der Spitzenintensität der gemessenen PSF zur Spitzenintensität der idealen PSF. Die MTF ist mit der inversen Fouriertransformierten der inkohärenten PSF verknüpft.
Folglich lässt sich das Strehl-Verhältnis als Integral unter der gesamten MTF-Kurve ausdrücken, einschließlich Frequenzen oberhalb der Nyquist-Frequenz (die irrelevant sind). Daher ist es in Situationen, in denen die Nyquist-Frequenz deutlich unterhalb der Beugungsgrenze liegt, sinnvoller, die MTF im Frequenzbereich zwischen Null und der Nyquist-Frequenz anzugeben, anstatt das Strehl-Verhältnis oder den RMS-Wellenfrontfehler zu spezifizieren.
Verwendung von CODE V
CODE V ist ein leistungsstarkes Werkzeug für die optische Konstruktion. Zu seinen fortschrittlichen Analysewerkzeugen gehören die Berechnung der MTF durch Auswertung der Autokorrelation der Pupillenfunktion und die Berechnung der CTF durch Berechnung einer Reihensumme von Sinuswellen-Antwortwerten.
Verbessern Sie Ihre optischen Designs mit CODE V
CODE V verwendet MTF-Metriken während des gesamten Designprozesses zur Analyse, Optimierung und Tolerierung optischer Systeme.
Referenzen
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