O que é a função de transferência de modulação?

onde_Imax e_Imin são as irradiâncias máxima e mínima, respectivamente. O valor máximo que o contraste pode assumir é 1, e o valor mínimo é 0.

Um ciclo do padrão sinusoidal corresponde a uma franja preta e a uma franja branca. Cada ciclo é também conhecido como par de linhas (lp). A frequência espacial é frequentemente medida em pares de linhas ou ciclos por unidade de distância, que normalmente é o milímetro. Assim, a unidade de frequência espacial é comumente representada como lp/mm ou ciclos/mm. Para sistemas afocais, as unidades são convertidas em frequências angulares, normalmente medidas em ciclos/milirradiano.

A Figura 1 mostra a resposta do sistema a uma única frequência; no entanto, a MTF mede a resposta para frequências contínuas até a frequência de corte_fc. A frequência de corte, que é a frequência mais alta que o sistema é capaz de distinguir, é dada por:

A MTF é uma função de um vetor de frequência espacial bidimensional, mas geralmente é apresentada como um gráfico unidimensional. Nesse tipo de representação, é útil comparar a resposta com a de um sistema perfeito. Em um sistema sem aberrações, o contraste é degradado apenas por efeitos de difração. A linha pontilhada na Figura 2 mostra a MTF para o sistema sem aberrações, identificada como “Limite de Difração”.

Para pontos de campo fora do eixo, o resultado da MTF depende da orientação do padrão de barras. É comum apresentar as direções tangencial (T) e radial (R) para cada ponto de campo, conforme mostrado na Figura 3. Em um alvo tangencial, as barras são tangentes ao círculo de imagem; em um alvo radial, as barras são paralelas à direção radial.

Às vezes, é útil medir a MTF ao longo do foco, que mostra a MTF para frequências selecionadas em função da posição de desfocagem. Outro gráfico de MTF informativo é o da MTF em função dos pontos de campo, que mostra a MTF para frequências selecionadas em função dos pontos de campo. Exemplos desses gráficos são apresentados na Figura 4.

Outra observação útil é que, no caso de pequenas aberrações, a degradação da MTF ocorre próximo à metade da frequência de corte de difração. Isso ocorre porque a MTF na frequência zero é sempre igual a um, enquanto a MTF na frequência de corte de difração é igual a zero. Se você medir a MTF com aberração como uma razão da MTF sem aberração, o resultado será uma função que apresenta uma queda no meio.

A função de transferência incoerente r de um sistema linear invariante em deslocamento é dada pela transformada de Fourier da função de difusão pontual incoerente:

onde p é um vetor de frequência espacial bidimensional e _F2 denota uma transformada de Fourier bidimensional. A função de transferência pode então ser expressa em termos da PSF coerente da seguinte forma:

A função coerente da pupila pf(r) é a amplitude complexa da frente de onda na esfera da pupila de saída. Sua fase (em relação à esfera de referência) é determinada pelas aberrações, e a amplitude é igual a um dentro do contorno da pupila ou é determinada por uma função de apodização específica.

Como a PSF coerente está relacionada à transformada de Fourier da função pupilar coerente pf(r), a função de transferência também pode ser escrita da seguinte forma:

onde B é um fator constante que depende do comprimento de onda da fonte e da distância entre a fonte pontual e a pupila, e o símbolo ⋆ denota autocorrelação. Assim, a função de transferência incoerente está relacionada à autocorrelação complexa da função da pupila. É conveniente normalizar a função de transferência em relação a TF(0). O resultado é conhecido como Função de Transferência Ótica (OTF):

A Função de Transferência de Modulação (MTF) é o módulo da função de transferência óptica:

Portanto, é possível calcular a MTF determinando a autocorrelação complexa da função pupilar ou calculando a transformada de Fourier da PSF incoerente. Utilizando a definição da MTF, a OTF pode ser expressa na forma complexa como:

onde p(p) é a fase. A MTF só pode assumir valores positivos, mas a OTF pode ser negativa quando há inversão de fase. No caso da imagem do padrão de barras, isso resultaria em inversão de contraste, o que significa que os elementos brancos ficariam escuros e os elementos escuros ficariam claros.

Em um gráfico de MTF, a curva de MTF atinge zero e, em seguida, “salta”. É importante estar ciente desse comportamento. Após o salto, a MTF aumenta tecnicamente, embora tenha atingido zero em uma frequência mais baixa. Outro possível impacto é que, se a MTF for usada na função de erro durante a otimização, a inversão de fase pode produzir mínimos locais.

Outras especificações comuns do sistema são a razão de Strehl e o erro RMS da frente de onda. Para pequenas aberrações, especificar a razão de Strehl equivale a especificar o erro RMS da frente de onda. A razão de Strehl é definida como a relação entre a intensidade de pico da PSF medida e a intensidade de pico da PSF perfeita. A MTF está relacionada à transformada de Fourier inversa da PSF incoerente.

Consequentemente, é possível expressar a razão de Strehl como a integral ao longo de toda a curva MTF, incluindo frequências além da frequência de Nyquist (que são irrelevantes). Por esse motivo, em situações em que a frequência de Nyquist está bem abaixo do limite de difração, faz mais sentido especificar a MTF em frequências entre zero e a frequência de Nyquist, em vez de especificar a razão de Strehl ou o erro RMS da frente de onda.