¿Qué es la función de transferencia de modulación?

donde_Imax e_Imin son la irradiancia máxima y mínima, respectivamente. El valor máximo que puede alcanzar el contraste es 1, y el mínimo es 0.

Un ciclo del patrón sinusoidal corresponde a una franja negra y una blanca. Cada ciclo se denomina también «par de líneas» (lp). La frecuencia espacial se mide a menudo en pares de líneas o ciclos por unidad de distancia, que suele ser el milímetro. Por lo tanto, la unidad de frecuencia espacial se expresa habitualmente como lp/mm o ciclos/mm. En el caso de los sistemas afocales, las unidades se convierten a frecuencias angulares, que suelen medirse en ciclos/milirradian.

La figura 1 muestra la respuesta del sistema a una sola frecuencia; sin embargo, la MTF mide la respuesta para un rango continuo de frecuencias hasta la frecuencia de corte_fc. La frecuencia de corte, que es la frecuencia más alta que el sistema puede resolver, viene dada por:

La MTF es una función de un vector de frecuencia espacial bidimensional, pero suele representarse en un gráfico unidimensional. En este tipo de representación, resulta útil comparar la respuesta con la de un sistema perfecto. En un sistema sin aberraciones, el contraste solo se ve degradado por los efectos de difracción. La línea punteada de la figura 2 muestra la MTF del sistema sin aberraciones, que se denomina «límite de difracción».

En el caso de los puntos de campo fuera del eje, el resultado de la MTF depende de la orientación del patrón de barras. Es habitual indicar las direcciones tangencial (T) y radial (R) para cada punto de campo, tal y como se muestra en la figura 3. En un objetivo tangencial, las barras son tangentes al círculo de imagen, mientras que en un objetivo radial, las barras son paralelas a la dirección radial.

A veces resulta útil medir la MTF a lo largo del enfoque, que muestra la MTF para frecuencias seleccionadas en función de la posición de desenfoque. Otro gráfico de MTF muy informativo es el de MTF frente a puntos de campo, que muestra la MTF para frecuencias seleccionadas en función de los puntos de campo. En la figura 4 se muestran ejemplos de estos gráficos.

Otro aspecto útil a tener en cuenta es que, en el caso de las aberraciones pequeñas, la degradación de la MTF se produce cerca de la mitad de la frecuencia de corte de difracción. Esto se debe a que la MTF en la frecuencia cero es siempre la unidad y la MTF en la frecuencia de corte de difracción es cero. Si se mide la MTF con aberración como una relación con respecto a la MTF sin aberraciones, el resultado es una función que presenta un descenso en el centro.

La función de transferencia incoherente r de un sistema lineal e invariante ante desplazamientos viene dada por la transformada de Fourier de la función de dispersión puntual incoherente:

donde p es un vector de frecuencia espacial bidimensional y _F2 denota una transformada de Fourier bidimensional. La función de transferencia puede entonces expresarse en términos de la PSF coherente de la siguiente manera:

La función de pupila coherente pf(r) es la amplitud compleja del frente de onda en la esfera de la pupila de salida. Su fase (respecto a la esfera de referencia) viene determinada por las aberraciones, y la amplitud es igual a la unidad dentro del contorno de la pupila o viene determinada por una función de apodización específica.

Dado que la función de distribución de potencia (PSF) coherente está relacionada con la transformada de Fourier de la función pupilar coherente pf(r), la función de transferencia también puede expresarse como:

donde B es un factor constante que depende de la longitud de onda de la fuente y de la distancia entre la fuente puntual y la pupila, y el símbolo ⋆ denota la autocorrelación. Por lo tanto, la función de transferencia incoherente está relacionada con la autocorrelación compleja de la función de la pupila. Resulta conveniente normalizar la función de transferencia con respecto a TF(0). El resultado se denomina función de transferencia óptica (OTF):

La función de transferencia de modulación (MTF) es el módulo de la función de transferencia óptica:

Por lo tanto, la MTF se puede calcular determinando la autocorrelación compleja de la función pupilar o calculando la transformada de Fourier de la PSF incoherente. Utilizando la definición de la MTF, la OTF se puede expresar en forma compleja como:

donde p(p) es la fase. La MTF solo puede tomar valores positivos, pero la OTF puede ser negativa cuando se produce una inversión de fase. En el caso de la imagen del patrón de barras, esto daría lugar a una inversión del contraste, lo que significa que los elementos blancos se volverían oscuros y los oscuros, claros.

En un gráfico de MTF, la curva de MTF llega a cero y luego «rebota». Es importante tener en cuenta este comportamiento. Tras el rebote, la MTF aumenta técnicamente, aunque haya llegado a cero a una frecuencia más baja. Otra consecuencia posible es que, si se utiliza la MTF en la función de error durante la optimización, la inversión de fase puede dar lugar a mínimos locales.

Otras especificaciones habituales del sistema son la relación de Strehl y el error de frente de onda RMS. En el caso de aberraciones pequeñas, especificar la relación de Strehl equivale a especificar el error de frente de onda RMS. La relación de Strehl se define como la relación entre la intensidad máxima de la PSF medida y la intensidad máxima de la PSF perfecta. La MTF está relacionada con la transformada de Fourier inversa de la PSF incoherente.

Por lo tanto, el índice de Strehl puede expresarse como la integral de toda la curva MTF, incluidas las frecuencias por encima de la frecuencia de Nyquist (que son irrelevantes). Por este motivo, en situaciones en las que la frecuencia de Nyquist se encuentra muy por debajo del umbral de difracción, resulta más lógico especificar la MTF en frecuencias comprendidas entre cero y la frecuencia de Nyquist, en lugar de especificar el índice de Strehl o el error RMS del frente de onda.