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Che cos'è la funzione di trasferimento di modulazione?
Definizione della funzione di trasferimento di modulazione
La funzione di trasferimento di modulazione (MTF) è un parametro prestazionale che misura la perdita di contrasto nell'immagine rispetto al contrasto dell'oggetto. Man mano che il contrasto diminuisce, per l'osservatore diventa sempre più difficile distinguere i dettagli più piccoli nell'immagine. Esistono diversi fattori che causano la perdita di contrasto, quali gli effetti di diffrazione, le aberrazioni ottiche e la vignettatura. Pertanto, è possibile utilizzare l'MTF per valutare e confrontare i sistemi ottici.
Indice dei contenuti
Determinazione della MTF del sistema
Per determinare la MTF del sistema, è possibile utilizzare come oggetto un motivo sinusoidale con contrasto perfetto. Il contrasto dell'immagine è definito come segue:
doveImax eImin sono rispettivamente l'irraggiamento massimo e minimo. Il valore massimo che il contrasto può assumere è 1, mentre il valore minimo è 0.
Un ciclo del motivo sinusoidale corrisponde a una frangia nera e a una bianca. Ogni ciclo è anche indicato come coppia di linee (lp). La frequenza spaziale viene spesso misurata in coppie di linee o cicli per unità di distanza, che in genere è il millimetro. Pertanto, l'unità di misura della frequenza spaziale è comunemente espressa come lp/mm o cicli/mm. Per i sistemi afocali, le unità vengono convertite in frequenze angolari, misurate in genere in cicli/milliradianti.
Figura 1. Un sistema ottico provoca una perdita di contrasto nell'immagine rispetto al contrasto dell'oggetto.
La figura 1 mostra la risposta del sistema a una singola frequenza; tuttavia, la MTF misura la risposta per una gamma continua di frequenze fino alla frequenza di tagliofc. La frequenza di taglio, ovvero la frequenza massima che il sistema è in grado di distinguere, è data da:
La MTF è una funzione di un vettore di frequenza spaziale bidimensionale, ma viene solitamente rappresentata sotto forma di grafico unidimensionale. In questo tipo di rappresentazione, è utile confrontare la risposta con quella di un sistema perfetto. In un sistema privo di aberrazioni, il contrasto è compromesso solo dagli effetti di diffrazione. La linea tratteggiata nella Figura 2 mostra la MTF del sistema privo di aberrazioni, indicata come «Limite di diffrazione».
Figura 2. Grafico MTF sull'asse di un sistema ottico confrontato con il grafico MTF limitato dalla diffrazione. L'immagine in uscita mostra un contrasto eccellente alle basse frequenze e uno scarso alle alte frequenze, rispecchiando il grafico MTF.
Per i punti di campo fuori asse, il risultato dell'MTF dipende dall'orientamento del motivo a barre. È consuetudine indicare le direzioni tangenziale (T) e radiale (R) per ciascun punto di campo, come illustrato nella Figura 3. In un bersaglio tangenziale, le barre sono tangenti al cerchio dell'immagine, mentre in un bersaglio radiale le barre sono parallele alla direzione radiale.
Figura 3. Grafici MTF fuori asse per le direzioni tangenziale e radiale. In CODE V, le barre di riferimento sono relative all'asse Y. L'MTF radiale corrisponde alle barre verticali, mentre l'MTF tangenziale corrisponde alle barre orizzontali.
A volte è utile misurare l'MTF attraverso la messa a fuoco, che mostra l'MTF per frequenze selezionate in funzione della posizione di sfocatura. Un altro grafico MTF significativo è quello che mette a confronto l'MTF con i punti di campo, il quale mostra l'MTF per frequenze selezionate in funzione dei punti di campo. Alcuni esempi di questi grafici sono riportati nella Figura 4.
Figura 4. Esempi di grafici MTF in funzione della posizione di sfocatura (a sinistra) e MTF in funzione del campo (a destra).
Funzione di trasferimento del contrasto
Finora abbiamo descritto target a onda sinusoidale che rappresentano una singola frequenza. La risposta del sistema a un segnale a onda quadra è denominata funzione di trasferimento del contrasto (CTF). La CTF può rappresentare un parametro di prestazione più appropriato per i sistemi che acquisiscono immagini di oggetti con caratteristiche a onda quadra, come i lettori di codici a barre. Dal punto di vista computazionale, è possibile approssimare la CTF sommando una serie di valori di risposta a onda sinusoidale.
Figura 5. CTF sull'asse. Il bersaglio è un segnale a onda quadra anziché un segnale sinusoidale.
Aspetti relativi all'MTF nel processo di progettazione
Il progettista ottico non punta necessariamente a raggiungere prestazioni al limite di diffrazione. La curva MTF desiderata dipende dai requisiti di progettazione. Le specifiche dell'obiettivo si presentano solitamente sotto forma di un valore MTF per frequenze specifiche. La specifica MTF può derivare, ad esempio, dalle dimensioni dei pixel del sensore e dal teorema di Nyquist, che descrive la frequenza spaziale massima che il sensore è in grado di risolvere.
Ad esempio, supponiamo di avere un sensore digitale con una dimensione dei pixel pari a 7,4 μm × 7,4 μm. Secondo il teorema di Nyquist, la frequenza massima che può essere risolta è pari a 1 ciclo/(2 × 7,4 μm) = 0,0676 cicli/μm ≈ 68 cicli/mm. In base alle caratteristiche del sensore, un requisito prestazionale tipico per l'obiettivo potrebbe essere:
- MTF > 50% a 17 cicli/mm, e
- MTF > 25% a 68 cicli/mm.
La figura 6 mostra il grafico MTF di un obiettivo che soddisferebbe questi requisiti in tutti i campi. È importante conoscere le caratteristiche del sensore durante il processo di progettazione, poiché in molti casi la frequenza di Nyquist del sensore è solo una piccola frazione della frequenza di taglio di diffrazione fc.
Figura 6. Sistema che soddisfa i requisiti di MTF > 50% a 17 cicli/mm e MTF > 25% a 68 cicli/mm.
Un altro aspetto utile da considerare è che, in presenza di piccole aberrazioni, il deterioramento della MTF si verifica in prossimità della metà della frequenza di taglio di diffrazione. Ciò è dovuto al fatto che la MTF a frequenza zero è sempre pari a uno, mentre alla frequenza di taglio di diffrazione è pari a zero. Se si misura la MTF con aberrazione come rapporto rispetto alla MTF priva di aberrazioni, il risultato è una funzione che presenta un calo al centro.
Come si misura l'MTF nella pratica?
A livello sperimentale, è possibile misurare la risposta in frequenza di un sistema ottico in diversi modi, ad esempio utilizzando il bersaglio a bordo inclinato o il bersaglio a tre barre. Questi bersagli sono facili da usare perché basta semplicemente riprenderli.
Il bersaglio a tre barre è un metodo comunemente utilizzato per misurare la risoluzione. È costituito da tre barre parallele di una certa larghezza e distanza tra loro, che corrispondono a una specifica frequenza spaziale. Per misurare la risoluzione del sistema, è necessario disporre più motivi a tre barre a frequenze specifiche su un unico grafico ed esaminare l'immagine risultante per determinare le caratteristiche più piccole che è possibile distinguere.
Un bersaglio molto diffuso con queste caratteristiche è la tabella USAF del 1951 illustrata nella Figura 7. La risoluzione misurata su un bersaglio a tre barre potrebbe differire dalla CTF prevista, poiché la CTF presuppone una sequenza di barre di lunghezza infinita. In una sequenza con un numero finito di barre, potrebbero verificarsi effetti terminali che riducono il contrasto delle barre alle estremità della sequenza. Per questo motivo, il contrasto misurato potrebbe risultare inferiore a quello previsto dalla CTF.
Un altro metodo per misurare sperimentalmente la MTF è quello del bersaglio a bordo inclinato. Questo metodo si distingue in quanto consente di ottenere informazioni sulla frequenza da un unico bersaglio. In questo metodo, è necessario posizionare il bordo con un angolo ridotto prestabilito rispetto alla matrice di pixel del sensore, come illustrato nella Figura 7. Quando l’input è una funzione a gradino anziché una sorgente puntiforme, la distribuzione dell’irraggianza sull’immagine è una funzione di diffusione del bordo. È quindi possibile determinare l'MTF dalla trasformata di Fourier della derivata della funzione di diffusione del bordo.
Figura 7. Esempi di bersagli che consentono di misurare sperimentalmente la MTF, con un grafico a tre barre (a sinistra) e un bersaglio a bordi inclinati (a destra).
Come si calcola l'MTF?
Per stabilire come calcolare l'MTF, occorre innanzitutto definire la funzione di diffusione del punto (PSF), la funzione di trasferimento (TF) e la loro relazione con l'MTF.
La funzione di diffusione puntiforme (PSF) di un sistema di imaging è la distribuzione di irradianza risultante quando l'oggetto è una sorgente puntiforme. Per la luce coerente, la PSF è correlata alla trasformata di Fourier dell'ampiezza complessa della funzione pupillare. Per la luce incoerente, la PSF è correlata alla trasformata di Fourier dell'intensità della funzione pupillare. Pertanto, la PSF coerente e quella incoerente sono correlate come segue.
Dove r è un vettore di posizione spaziale bidimensionale:
La funzione di trasferimento incoerente r di un sistema lineare invariante per traslazione è data dalla trasformata di Fourier della funzione di diffusione puntuale incoerente:
dove p è un vettore di frequenza spaziale bidimensionale e F2 indica una trasformata di Fourier bidimensionale. La funzione di trasferimento può quindi essere espressa in termini del PSF coerente come:
La funzione di coerenza della pupilla pf(r) è l'ampiezza complessa del fronte d'onda sulla sfera della pupilla di uscita. La sua fase (rispetto alla sfera di riferimento) è determinata dalle aberrazioni, mentre l'ampiezza è pari a uno all'interno del contorno della pupilla oppure è determinata da una specifica funzione di apodizzazione.
Poiché la PSF coerente è correlata alla trasformata di Fourier della funzione pupillare coerente pf(r), la funzione di trasferimento può anche essere espressa come:
dove B è un fattore costante che dipende dalla lunghezza d'onda della sorgente e dalla distanza tra la sorgente puntiforme e la pupilla, mentre il simbolo ⋆ indica l'autocorrelazione. Pertanto, la funzione di trasferimento incoerente è correlata all'autocorrelazione complessa della funzione della pupilla. È opportuno normalizzare la funzione di trasferimento rispetto a TF(0). Il risultato è denominato Funzione di Trasferimento Ottico (OTF):
La funzione di trasferimento della modulazione (MTF) è il modulo della funzione di trasferimento ottico:
Pertanto, è possibile calcolare la MTF calcolando l'autocorrelazione complessa della funzione pupillare oppure calcolando la trasformata di Fourier della PSF incoerente. Utilizzando la definizione della MTF, l'OTF può essere espressa in forma complessa come:
dove p(p) è la fase. La MTF può assumere solo valori positivi, mentre l'OTF può essere negativa in caso di inversione di fase. Per l'immagine del motivo a barre, ciò comporterebbe un'inversione del contrasto, ovvero le aree bianche diventerebbero scure e quelle scure diventerebbero chiare.
In un grafico MTF, la curva MTF raggiunge lo zero e poi “rimbalza”. È importante tenere presente questo comportamento. Dopo il rimbalzo, l’MTF aumenta tecnicamente anche se ha raggiunto lo zero a una frequenza inferiore. Un’altra possibile conseguenza è che, se l’MTF viene utilizzato nella funzione di errore durante l’ottimizzazione, l’inversione di fase potrebbe generare minimi locali.
Altre specifiche di sistema comunemente utilizzate sono il rapporto di Strehl e l'errore RMS del fronte d'onda. Per le aberrazioni di piccola entità, specificare il rapporto di Strehl equivale a specificare l'errore RMS del fronte d'onda. Il rapporto di Strehl è definito come il rapporto tra l'intensità di picco della PSF misurata e l'intensità di picco della PSF perfetta. La MTF è correlata alla trasformata di Fourier inversa della PSF incoerente.
Di conseguenza, è possibile esprimere il rapporto di Strehl come l'integrale lungo l'intera curva MTF, comprese le frequenze al di là della frequenza di Nyquist (che sono irrilevanti). Per questo motivo, nei casi in cui la frequenza di Nyquist sia ben al di sotto della frequenza di taglio di diffrazione, è più sensato specificare l'MTF alle frequenze comprese tra zero e la frequenza di Nyquist, piuttosto che specificare il rapporto di Strehl o l'errore RMS del fronte d'onda.
Utilizzo di CODE V
CODE V è un potente strumento di progettazione ottica. I suoi strumenti di analisi avanzati includono il calcolo della MTF tramite la valutazione dell'autocorrelazione della funzione pupillare e il calcolo della CTF tramite la somma in serie dei valori di risposta delle onde sinusoidali.
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CODE V utilizza i parametri MTF durante l'intero processo di progettazione per analizzare, ottimizzare e definire le tolleranze dei sistemi ottici.
Bibliografia
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