무엇을 찾고 있습니까?
변조 전달 함수란 무엇인가?
변조 전달 함수(MTF)의 정의
변조 전달 함수(MTF)는 피사체의 대비와 비교하여 이미지의 대비 저하를 측정하는 성능 지표입니다. 대비가 저하되면 관찰자는 이미지에서 작은 특징을 구별하기가 점점 더 어려워집니다. 대비 저하를 유발하는 요인으로는 회절 효과, 광학 수차, 비네팅 등이 있습니다. 따라서 MTF를 사용하여 광학 시스템을 평가하고 비교할 수 있습니다.
목차
시스템 MTF 결정
시스템 MTF를 결정하려면 완벽한 대비를 가진 정현파 패턴을 피사체로 사용할 수 있습니다. 이미지 대비는 다음과 같이 설계됩니다.
여기서 Imax와 Imin은 각각 최대 및 최소 조도입니다. 대비가 가질 수 있는 최대값은 1이고 최소값은 0입니다.
정현파 패턴의 한 주기는 검은색과 흰색 프린지에 해당합니다. 각 주기는 선쌍(lp)이라고도 합니다. 공간 주파수는 종종 선쌍 또는 단위 거리당 주기(일반적으로 mm)로 측정됩니다. 따라서 공간 주파수 단위는 일반적으로 lp/mm 또는 cycles/mm로 표시됩니다. 무초점 시스템의 경우 단위는 각 주파수로 변환되며, 일반적으로 cycles/milliradian으로 측정됩니다.
그림 1. 광학 시스템은 물체의 대비에 비해 이미지의 대비 저하를 유발합니다.
그림 1은 단일 주파수에 대한 시스템의 응답을 보여주지만, MTF는 차단 주파수 fc까지 연속적인 주파수에 대한 응답을 측정합니다. 시스템이 해결할 수 있는 가장 높은 주파수인 차단 주파수는 다음과 같습니다.
MTF는 2D 공간 주파수 벡터의 함수이지만, 일반적으로 1D 플롯으로 표시됩니다. 이러한 유형의 표현에서는 완벽한 시스템의 응답과 비교하는 것이 유용합니다. 수차 없는 시스템에서는 대비가 회절 효과에 의해서만 저하됩니다. 그림 2의 점선은 수차 없는 시스템의 MTF를 보여주며, 이는 “회절 한계”로 표시됩니다.
그림 2. 회절 한계 MTF 플롯과 비교한 광학 시스템의 축상 MTF 플롯. 출력 이미지는 낮은 주파수에서 우수한 대비를, 높은 주파수에서 낮은 대비를 보여주며 MTF 플롯을 모방합니다.
축외 시야점의 경우 MTF 결과는 막대 패턴의 방향에 따라 달라집니다. 그림 3에서와 같이 각 시야점에 대해 접선(T) 및 방사형(R) 방향을 표시하는 것이 일반적입니다. 접선 타겟에서는 막대가 이미지 원에 접하고, 방사형 타겟에서는 막대가 방사형 방향과 평행합니다.
그림 3. 접선 및 방사형 방향에 대한 축외 MTF 플롯. CODE V에서 타겟 막대는 Y축에 상대적입니다. 방사형 MTF는 수직 막대에 해당하고 접선 MTF는 수평 막대에 해당합니다.
때로는 초점 이동 MTF를 측정하는 것이 유용합니다. 이는 초점 이탈 위치의 함수로 선택된 주파수에 대한 MTF를 보여줍니다. 또 다른 유용한 MTF 차트는 시야점 대 MTF로, 시야점의 함수로 선택된 주파수에 대한 MTF를 보여줍니다. 이러한 플롯의 예는 그림 4에 나와 있습니다.
그림 4. 초점 이탈 위치 대 MTF(왼쪽) 및 시야 대 MTF(오른쪽) 차트의 예.
대비 전달 함수
지금까지는 단일 주파수를 나타내는 정현파 타겟에 대해 설명했습니다. 구형파 패턴에 대한 시스템의 응답을 대비 전달 함수(CTF)라고 합니다. CTF는 바코드 리더와 같이 구형파 특징을 가진 물체를 이미징하는 시스템에 더 적합한 성능 측정 기준일 수 있습니다. 계산적으로는 일련의 정현파 응답 값을 합산하여 CTF를 근사화할 수 있습니다.
그림 5. 축상 CTF. 타겟은 정현파 패턴 대신 구형파 패턴입니다.
설계 프로세스 중 MTF 고려 사항
광학 설계자는 반드시 회절 한계 성능을 달성하는 것을 목표로 하지 않습니다. 원하는 MTF 곡선은 설계 요구 사항에 기반합니다. 렌즈 사양은 일반적으로 특정 주파수에 대한 MTF 값의 형태를 취합니다. MTF 사양은 예를 들어 센서 픽셀 크기와 센서가 해결할 수 있는 최대 공간 주파수를 설명하는 나이퀴스트 정리에서 비롯될 수 있습니다.
예를 들어, 픽셀 크기가 7.4 µm x 7.4 µm인 디지털 센서를 가정해 봅시다. 나이퀴스트 정리에 따르면, 해결할 수 있는 가장 높은 주파수는 1 cycle/(2 x 7.4 µm) = 0.0676 cycles/µm ≈ 68 cycles/mm입니다. 센서 특성을 기반으로 렌즈에 대한 일반적인 성능 요구 사항은 다음과 같습니다.
- 17 cycles/mm에서 MTF > 50%, 그리고
- 68 cycles/mm에서 MTF > 25%.
그림 6은 모든 시야에 대해 이러한 요구 사항을 충족하는 렌즈의 MTF 차트를 보여줍니다. 설계 과정에서 센서 특성을 아는 것이 중요합니다. 왜냐하면 많은 경우 센서의 나이퀴스트 주파수가 회절 차단 주파수 fc의 작은 부분에 불과하기 때문입니다.
그림 6. 17 cycles/mm에서 MTF > 50% 및 68 cycles/mm에서 MTF > 25% 요구 사항을 충족하는 시스템.
또 다른 유용한 고려 사항은 작은 수차의 경우 MTF 저하가 회절 차단 주파수의 절반 근처에서 발생한다는 것입니다. 이는 0 주파수에서 MTF는 항상 1이고 회절 차단 주파수에서 MTF는 0이기 때문입니다. 수차 있는 MTF를 수차 없는 MTF의 비율로 측정하면, 결과는 중간 부분이 처지는 함수가 됩니다.
실제로 MTF를 어떻게 측정합니까?
실험적으로는 기울어진 에지 타겟 또는 3바 타겟을 사용하는 등 다양한 방법으로 광학 시스템의 주파수 응답을 측정할 수 있습니다. 이러한 타겟은 이미징만 하면 되므로 사용하기 쉽습니다.
3바 타겟은 해상도를 측정하는 일반적인 방법입니다. 이 타겟은 특정 공간 주파수에 해당하는 특정 너비와 간격을 가진 세 개의 평행한 막대로 구성됩니다. 시스템 해상도를 측정하려면 단일 차트에 특정 주파수로 여러 3바 패턴을 배열하고 결과 이미지를 검사하여 해결할 수 있는 가장 작은 특징을 결정합니다.
이러한 특성을 가진 인기 있는 타겟은 그림 7에 표시된 USAF 1951 차트입니다. 3바 타겟에서 측정된 해상도는 예측된 CTF와 다를 수 있는데, 이는 CTF가 무한히 긴 막대 패턴을 가정하기 때문입니다. 유한한 수의 막대가 있는 패턴에서는 패턴 끝 부분의 막대 대비를 감소시키는 끝 효과를 볼 수 있습니다. 이러한 이유로 측정된 대비는 CTF에 의해 예측된 것보다 작을 수 있습니다.
MTF를 실험적으로 측정하는 또 다른 방법은 기울어진 에지 타겟입니다. 이 방법은 단일 타겟에서 주파수 정보를 얻을 수 있다는 점에서 다릅니다. 이 방법에서는 그림 7에 표시된 것처럼 센서의 픽셀 배열에 대해 가장자리를 지정된 작은 각도로 설정해야 합니다. 입력이 점 광원 대신 계단 함수일 때, 이미지의 조도 분포는 에지 확산 함수입니다. 그런 다음 에지 확산 함수의 미분 푸리에 변환으로부터 MTF를 결정할 수 있습니다.
그림 7. 3바 차트(왼쪽)와 기울어진 에지 타겟(오른쪽)을 사용하여 MTF를 실험적으로 측정할 수 있는 타겟의 예.
MTF를 어떻게 계산합니까?
MTF를 계산하는 방법을 결정하려면 먼저 점 확산 함수(PSF), 전달 함수(TF) 및 MTF와의 관계를 정의해야 합니다.
이미징 시스템의 점 확산 함수(PSF)는 객체가 점 광원일 때 발생하는 조도 분포입니다. 코히어런트 광의 경우 PSF는 동공 함수 복소 진폭의 푸리에 변환과 관련됩니다. 인코히어런트 광의 경우 PSF는 동공 함수 강도의 푸리에 변환과 관련됩니다. 따라서 코히어런트 및 인코히어런트 PSF는 다음과 같이 관련됩니다.
여기서 r 은 2D 공간 위치 벡터입니다.
선형, 시프트 불변 시스템의 인코히어런트 전달 함수 r은 인코히어런트 점 확산 함수의 푸리에 변환으로 주어집니다.
여기서 p는 2D 공간 주파수 벡터이고 F2는 2D 푸리에 변환을 나타냅니다. 전달 함수는 코히어런트 PSF로 다음과 같이 작성될 수 있습니다.
코히어런트 동공 함수 pf(r)은 출구 동공 구면에서의 파면의 복소 진폭입니다. 그 위상(기준 구면에 상대적)은 수차에 의해 주어지며, 진폭은 동공 경계 내부에서 1이거나 특정 아포다이징 함수에 의해 결정됩니다.
코히어런트 PSF가 코히어런트 동공 함수 pf(r)의 푸리에 변환과 관련되어 있으므로, 전달 함수는 다음과 같이 작성될 수도 있습니다.
여기서 B는 광원 파장과 점 광원과 동공 사이의 거리에 따라 달라지는 상수이며, 별표 ⋆는 자기 상관을 나타냅니다. 따라서 인코히어런트 전달 함수는 동공 함수의 복소 자기 상관과 관련됩니다. TF(0)에 상대적으로 전달 함수를 정규화하는 것이 편리합니다. 그 결과는 광학 전달 함수(OTF)라고 합니다.
변조 전달 함수(MTF)는 광학 전달 함수의 모듈러스입니다.
따라서 동공 함수의 복소 자기 상관을 계산하거나 인코히어런트 PSF의 푸리에 변환을 계산하여 MTF를 계산할 수 있습니다. MTF의 정의를 사용하면 OTF는 복소수 형태로 다음과 같이 작성될 수 있습니다.
여기서 p(p)는 위상입니다. MTF는 양수 값만 가질 수 있지만, 위상 반전이 있을 때 OTF는 음수가 될 수 있습니다. 막대 패턴 이미지의 경우, 이는 대비 반전을 초래하여 흰색 특징이 어두워지고 어두운 특징이 밝아지는 결과를 가져옵니다.
MTF 플롯에서 MTF 곡선은 0에 도달한 후 “바운스”됩니다. 이러한 동작을 인지하는 것이 중요합니다. 바운스 후에는 더 낮은 주파수에서 0에 도달했음에도 불구하고 MTF가 기술적으로 증가합니다. 또 다른 가능한 영향은 최적화 중에 오류 함수에서 MTF를 사용하는 경우 위상 반전이 국소 최솟값을 생성할 수 있다는 것입니다.
다른 일반적인 시스템 사양으로는 스트렐 비(Strehl ratio)와 RMS 파면 오차(RMS wavefront error)가 있습니다. 작은 수차의 경우, 스트렐 비를 지정하는 것은 RMS 파면 오차를 지정하는 것과 동일합니다. 스트렐 비는 측정된 PSF의 피크 강도와 완벽한 PSF의 피크 강도 비율로 정의됩니다. MTF는 비간섭성 PSF의 역 푸리에 변환과 관련이 있습니다.
결과적으로, 스트렐 비는 나이퀴스트 주파수(Nyquist frequency)를 초과하는 주파수(관련 없음)를 포함하여 전체 MTF 곡선 아래의 적분으로 표현할 수 있습니다. 이러한 이유로, 나이퀴스트가 회절 차단(diffraction cutoff)보다 훨씬 낮은 상황에서는 스트렐 비 또는 RMS 파면 오차를 지정하는 것보다 0과 나이퀴스트 주파수 사이의 주파수에서 MTF를 지정하는 것이 더 합리적입니다.
CODE V 사용
CODE V는 강력한 광학 설계 도구입니다. 고급 분석 도구에는 동공 함수(pupil function)의 자기상관(autocorrelation)을 평가하여 MTF를 계산하는 기능과 사인파 응답 값의 계열 합계를 계산하여 CTF를 계산하는 기능이 포함됩니다.
CODE V로 광학 설계 수준 향상
CODE V는 광학 시스템의 분석, 최적화 및 공차 설정을 위해 설계 프로세스 전반에 걸쳐 MTF 측정 기준을 사용합니다.
참고 자료
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