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変調伝達関数とは何か？
変調伝達関数の定義
変調伝達関数（MTF）は、オブジェクト内のコントラストと比較して、画像内のコントラストの劣化を測定する性能指標です。コントラストが劣化すると、観察者は画像内の小さな特徴を区別することがますます困難になります。回折効果、光学収差、ケラレなど、コントラスト劣化を引き起こすいくつかの要因があります。したがって、MTFを使用して光学システムを評価および比較できます。
目次
システムMTFの決定
システムMTFを決定するには、完全なコントラストを持つ正弦波パターンをオブジェクトとして使用できます。画像コントラストは次のように設計されます。
ここで、ImaxとIminはそれぞれ最大照度と最小照度です。コントラストが取り得る最大値は1、最小値は0です。
正弦波パターンの1サイクルは、黒と白の縞に対応します。各サイクルはラインペア (lp) とも呼ばれます。空間周波数は、通常mm単位の距離あたりのラインペアまたはサイクルで測定されることがよくあります。したがって、空間周波数単位は一般的にlp/mmまたはcycles/mmとして表されます。アフォーカルシステムの場合、単位は角周波数に変換され、通常cycles/ミリラジアンで測定されます。
図1. 光学システムは、物体におけるコントラストと比較して、画像におけるコントラストの劣化を引き起こします。
図1は、システムが単一周波数に対して応答する様子を示していますが、MTFはカットオフ周波数fcまでの連続した周波数に対する応答を測定します。システムが分解できる最高の周波数であるカットオフ周波数は、次式で与えられます。
MTFは2次元空間周波数ベクトルの関数ですが、通常は1次元プロットとして表示されます。この種の表現では、完全なシステムの応答と比較することが有用です。収差のないシステムでは、コントラストは回折効果によってのみ劣化します。図2の点線は、収差のないシステムのMTFを示しており、「回折限界」と表記されています。
図2. 光学システムの軸上MTFプロットと回折限界MTFプロットの比較。出力画像は、低周波数で優れたコントラストを、高周波数で劣悪なコントラストを示しており、MTFプロットを模倣しています。
軸外視野点の場合、MTFの結果はバーパターンの向きに依存します。図3に示すように、各視野点について接線方向 (T) と放射方向 (R) を示すのが一般的です。接線ターゲットでは、バーは画像円に接しており、放射ターゲットでは、バーは放射方向に平行です。
図3. 接線方向と放射方向の軸外MTFプロット。CODE Vでは、ターゲットバーはY軸を基準としています。放射MTFは垂直バーに対応し、接線MTFは水平バーに対応します。
選択された周波数に対するMTFをデフォーカス位置の関数として示す、スルーフォーカスMTFを測定することが有用な場合があります。もう1つの有益なMTFチャートは、選択された周波数に対するMTFを視野点の関数として示すMTF対視野点です。これらのプロットの例を図4に示します。
図4. MTF対デフォーカス位置 (左) およびMTF対視野 (右) チャートの例。
コントラスト伝達関数
これまで、単一周波数を表す正弦波ターゲットについて説明してきました。システムが矩形波パターンに対して応答する様子は、コントラスト伝達関数 (CTF) と呼ばれます。CTFは、バーコードリーダーのように矩形波の特徴を持つ物体を撮像するシステムにとって、より適切な性能指標となる可能性があります。計算上、CTFは一連の正弦波応答値を合計することで近似できます。
図5. 軸上CTF。ターゲットは正弦波パターンではなく矩形波パターンです。
設計プロセス中のMTFに関する考慮事項
光学設計者は、必ずしも回折限界性能を達成することを目指すわけではありません。望ましいMTF曲線は、設計要件に基づいています。レンズの仕様は通常、特定の周波数に対するMTF値の形で示されます。MTF仕様は、例えば、センサーのピクセルサイズや、センサーが分解できる最大空間周波数を記述するナイキストの定理から導き出されることがあります。
例えば、7.4 µm x 7.4 µmのピクセルサイズを持つデジタルセンサーを仮定します。ナイキストの定理によれば、分解できる最高の周波数は1 cycle/(2 x 7.4 µm) = 0.0676 cycles/µm ≈ 68 cycles/mmです。センサーの特性に基づくと、レンズの典型的な性能要件は次のようになります。
- 17 cycles/mmでMTF > 50%、および
- 68 cycles/mmでMTF > 25%。
図6は、すべての視野でこれらの要件を満たすレンズのMTFチャートを示しています。設計プロセス中にセンサーの特性を知ることは重要です。なぜなら、多くの場合、センサーのナイキスト周波数は回折カットオフ周波数fcのごく一部に過ぎないからです。
図6. 17 cycles/mmでMTF > 50%、68 cycles/mmでMTF > 25%の要件を満たすシステム。
もう1つの有用な考慮事項は、小さな収差の場合、MTFの劣化は回折カットオフ周波数の約半分で発生するということです。これは、ゼロ周波数でのMTFは常に1であり、回折カットオフ周波数でのMTFはゼロであるためです。収差のあるMTFを収差のないMTFに対する比率として測定すると、結果として中央が沈み込む関数が得られます。
実際にMTFをどのように測定しますか？
実験的には、光学系の周波数応答をさまざまな方法で測定できます。例えば、スラントエッジターゲットや3バーターゲットを使用します。これらのターゲットは、画像を撮るだけでよいため、簡単に使用できます。
3バーターゲットは、解像度を測定するための一般的な方法です。これは、特定の空間周波数に対応する一定の幅と間隔を持つ3本の平行なバーで構成されています。システム解像度を測定するには、単一のチャートに特定の周波数で複数の3バーパターンを配置し、結果の画像を検査して、分解できる最小の特徴を特定します。
これらの特性を持つ一般的なターゲットは、図7に示すUSAF 1951チャートです。3バーターゲットから測定された解像度は、予測されたCTFとは異なる場合があります。これは、CTFが無限に長いバーのパターンを仮定しているためです。有限数のバーを持つパターンでは、パターンの端にあるバーのコントラストを低下させる端部効果が見られる場合があります。このため、測定されたコントラストはCTFによって予測されるよりも低い可能性があります。
MTFを実験的に測定するもう1つの方法は、スラントエッジターゲットです。この方法は、単一のターゲットから周波数情報を取得できるという点で異なります。この方法では、図7に示すように、センサーのピクセルアレイに対して、エッジを特定の小さな角度で設定する必要があります。入力が点光源ではなくステップ関数である場合、画像における照度分布はエッジスプレッド関数となります。その後、エッジスプレッド関数の導関数のフーリエ変換からMTFを決定できます。
図7. MTFを実験的に測定できるターゲットの例。3バーチャート（左）とスラントエッジターゲット（右）。
MTFをどのように計算しますか？
MTFの計算方法を決定するには、まず点像分布関数（PSF）、伝達関数（TF）、およびそれらのMTFとの関係を定義する必要があります。
イメージングシステムの点像分布関数（PSF）は、物体が点光源である場合の、結果として得られる照度分布です。コヒーレント光の場合、PSFは瞳関数の複素振幅のフーリエ変換に関連しています。インコヒーレント光の場合、PSFは瞳関数の強度のフーリエ変換に関連しています。したがって、コヒーレントPSFとインコヒーレントPSFは次のように関連します。
ここで、 r は2次元空間位置ベクトルです。
線形、シフト不変システムのインコヒーレント伝達関数 r は、インコヒーレント点像分布関数のフーリエ変換によって与えられます。
ここで、p は2次元空間周波数ベクトルであり、F2 は2次元フーリエ変換を示します。伝達関数は、コヒーレントPSFを用いて次のように記述できます。
コヒーレント瞳関数 pf(r) は、射出瞳面における波面の複素振幅です。その位相（参照球に対する相対値）は収差によって与えられ、振幅は瞳境界内で1であるか、特定の開口絞り関数によって決定されます。
コヒーレントPSFはコヒーレント瞳関数 pf(r) のフーリエ変換に関連しているため、伝達関数は次のように記述することもできます。
ここで、B は光源波長と点光源から瞳までの距離に依存する定数係数であり、アスタリスク ⋆ は自己相関を示します。したがって、インコヒーレント伝達関数は瞳関数の複素自己相関に関連しています。伝達関数を TF(0) に対して正規化すると便利です。その結果は、光伝達関数（OTF）と呼ばれます。
変調伝達関数（MTF）は、光伝達関数の絶対値です。
したがって、MTFは瞳関数の複素自己相関を計算するか、インコヒーレントPSFのフーリエ変換を計算することによって求めることができます。MTFの定義を用いると、OTFは複素形式で次のように記述できます。
ここで、p(p) は位相です。MTFは正の値のみを取ることができますが、OTFは位相反転がある場合に負になることがあります。バーパターンの画像の場合、これはコントラスト反転を引き起こし、白い特徴が暗くなり、暗い特徴が明るくなることを意味します。
MTFプロットでは、MTF曲線はゼロに達した後、「バウンス」します。この挙動を認識しておくことが重要です。バウンス後、MTFはより低い周波数でゼロに達したにもかかわらず、技術的には増加します。もう1つの考えられる影響は、最適化中にMTFが誤差関数で使用される場合、位相反転が局所的な最小値を生成する可能性があることです。
その他の一般的なシステム仕様には、ストレール比とRMS波面誤差があります。小さな収差の場合、ストレール比を指定することはRMS波面誤差を指定することと同等です。ストレール比は、測定されたPSFのピーク強度と完全なPSFのピーク強度の比率として定義されます。MTFは、インコヒーレントPSFの逆フーリエ変換に関連しています。
その結果、ストレール比は、ナイキスト周波数を超える周波数（これは無関係）を含むMTF曲線全体の積分として表現できます。このため、ナイキスト周波数が回折カットオフを大幅に下回る状況では、ストレール比やRMS波面誤差を指定するよりも、ゼロからナイキスト周波数までのMTFを指定する方が理にかなっています。
CODE Vの使用
CODE Vは強力な光学設計ツールです。その高度な解析ツールには、瞳関数の自己相関を評価することによるMTFの計算、および正弦波応答値の級数和を計算することによるCTFの計算が含まれます。
参考文献
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