Que recherchez-vous ?
Qu'est-ce que la fonction de transfert de modulation ?
Définition de la fonction de transfert de modulation
La fonction de transfert de modulation (MTF) est un indicateur de performance qui mesure la dégradation du contraste de l'image par rapport au contraste de l'objet. À mesure que le contraste se dégrade, les observateurs ont de plus en plus de mal à distinguer les petits détails de l'image. Plusieurs facteurs sont à l'origine de cette dégradation du contraste, tels que les effets de diffraction, les aberrations optiques et le vignettage. La MTF permet donc d'évaluer et de comparer les systèmes optiques.
Table des matières
Détermination de la fonction de transfert modulaire (MTF) du système
Pour déterminer la fonction de transfert modulaire (MTF) du système, vous pouvez utiliser comme objet un motif sinusoïdal présentant un contraste parfait. Le contraste de l'image est défini comme suit :
oùImax etImin correspondent respectivement aux irradiances maximale et minimale. La valeur maximale que peut prendre le contraste est 1, et la valeur minimale est 0.
Un cycle du motif sinusoïdal correspond à une frange noire et à une frange blanche. Chaque cycle est également appelé « paire de lignes » (lp). La fréquence spatiale est souvent mesurée en paires de lignes ou en cycles par unité de distance, généralement le millimètre. Ainsi, l'unité de fréquence spatiale est couramment exprimée en lp/mm ou en cycles/mm. Pour les systèmes afocaux, les unités sont converties en fréquences angulaires, généralement mesurées en cycles/milliradian.
Figure 1. Un système optique entraîne une dégradation du contraste de l'image par rapport au contraste de l'objet.
La figure 1 illustre la réponse du système à une fréquence unique ; toutefois, la MTF mesure la réponse pour un spectre continu de fréquences allant jusqu'à la fréquence de coupurefc. La fréquence de coupure, qui correspond à la fréquence la plus élevée que le système est capable de résoudre, est donnée par :
La MTF est une fonction d'un vecteur de fréquence spatiale bidimensionnel, mais elle est généralement représentée sous forme de graphique unidimensionnel. Dans ce type de représentation, il est utile de comparer la réponse à celle d'un système parfait. Dans un système exempt d'aberrations, le contraste n'est altéré que par les effets de diffraction. La ligne pointillée de la figure 2 représente la MTF du système exempt d'aberrations, désignée par « limite de diffraction ».
Figure 2. Courbe MTF dans l'axe d'un système optique comparée à la courbe MTF limite de diffraction. L'image de sortie présente un excellent contraste aux basses fréquences et un faible contraste aux hautes fréquences, reproduisant ainsi la courbe MTF.
Pour les points de champ hors axe, le résultat de la MTF dépend de l'orientation du motif en barres. Il est courant d'indiquer les directions tangentielle (T) et radiale (R) pour chaque point de champ, comme le montre la figure 3. Dans une cible tangentielle, les barres sont tangentes au cercle d'image, tandis que dans une cible radiale, elles sont parallèles à la direction radiale.
Figure 3. Graphiques de la réponse en fréquence hors axe (MTF) pour les directions tangentielle et radiale. Dans CODE V, les barres de référence sont alignées sur l'axe Y. La réponse en fréquence radiale correspond aux barres verticales et la réponse en fréquence tangentielle correspond aux barres horizontales.
Il est parfois utile de mesurer la courbe MTF sur toute la plage de mise au point, qui représente la courbe MTF pour des fréquences données en fonction de la position de défocalisation. Un autre graphique MTF très instructif est celui qui met en relation la courbe MTF et les points du champ, et qui représente la courbe MTF pour des fréquences données en fonction des points du champ. Des exemples de ces graphiques sont présentés à la figure 4.
Figure 4. Exemples de graphiques représentant la MTF en fonction de la position de défocalisation (à gauche) et la MTF en fonction du champ (à droite).
Fonction de transfert de contraste
Jusqu'à présent, nous avons décrit des cibles sinusoïdales représentant une seule fréquence. La réponse du système à une onde carrée est appelée « fonction de transfert de contraste » (CTF). La CTF peut constituer un indicateur de performance plus approprié pour les systèmes qui capturent des images d'objets présentant des caractéristiques d'onde carrée, tels que les lecteurs de codes-barres. Sur le plan mathématique, on peut approximer la CTF en additionnant une série de valeurs de réponse sinusoïdales.
Figure 5. CTF dans l'axe. La cible est un motif en onde carrée plutôt qu'un motif en onde sinusoïdale.
Éléments à prendre en compte concernant les MTF au cours du processus de conception
Le concepteur optique ne cherche pas nécessairement à atteindre les performances imposées par la limite de diffraction. La courbe MTF souhaitée dépend des exigences de conception. Les spécifications de l'objectif se présentent généralement sous la forme d'une valeur MTF pour des fréquences spécifiques. La spécification MTF peut, par exemple, découler de la taille des pixels du capteur et du théorème de Nyquist, qui décrit la fréquence spatiale maximale que le capteur est capable de résoudre.
Prenons par exemple un capteur numérique dont la taille des pixels est de 7,4 μm × 7,4 μm. Selon le théorème de Nyquist, la fréquence maximale pouvant être résolue est de 1 cycle/(2 × 7,4 μm) = 0,0676 cycle/μm ≈ 68 cycles/mm. Compte tenu des caractéristiques du capteur, une exigence de performance typique pour l'objectif pourrait être :
- MTF > 50 % à 17 cycles/mm, et
- MTF > 25 % à 68 cycles/mm.
La figure 6 présente le graphique MTF d'un objectif qui répondrait à ces exigences pour tous les champs. Il est important de connaître les caractéristiques du capteur lors de la conception, car dans de nombreux cas, la fréquence de Nyquist du capteur ne représente qu'une petite fraction de la fréquence de coupure de diffraction fc.
Figure 6. Système répondant aux exigences d'un MTF > 50 % à 17 cycles/mm et d'un MTF > 25 % à 68 cycles/mm.
Il convient également de noter que, pour les petites aberrations, la dégradation de la MTF se produit aux alentours de la moitié de la fréquence de coupure de diffraction. Cela s'explique par le fait que la MTF à fréquence nulle est toujours égale à un et que la MTF à la fréquence de coupure de diffraction est nulle. Si l'on mesure la MTF altérée par rapport à la MTF sans aberration, on obtient une courbe qui s'affaisse au milieu.
Comment mesure-t-on la MTF dans la pratique ?
Sur le plan expérimental, il est possible de mesurer la réponse en fréquence d'un système optique de différentes manières, par exemple à l'aide d'une cible à bord incliné ou d'une cible à trois barres. Ces cibles sont faciles à utiliser, car il suffit simplement de les mettre en image.
La mire à trois barres est une méthode couramment utilisée pour mesurer la résolution. Elle se compose de trois barres parallèles dont la largeur et l'espacement correspondent à une fréquence spatiale spécifique. Pour mesurer la résolution du système, disposez plusieurs mires à trois barres correspondant à des fréquences spécifiques sur une seule mire et examinez l'image obtenue afin de déterminer les plus petits détails que vous pouvez distinguer.
Une cible couramment utilisée présentant ces caractéristiques est la grille USAF de 1951 illustrée à la figure 7. La résolution mesurée sur une cible à trois barres peut différer de celle prévue par la CTF, car cette dernière suppose un motif de barres d'une longueur infinie. Dans un motif comportant un nombre fini de barres, on peut observer des effets de bord qui réduisent le contraste des barres situées aux extrémités du motif. C'est pourquoi le contraste mesuré peut être inférieur à celui prévu par la CTF.
Une autre méthode permettant de mesurer expérimentalement la MTF consiste à utiliser une cible à bord incliné. Cette méthode se distingue par le fait qu'elle permet d'obtenir des informations sur la fréquence à partir d'une seule cible. Dans cette méthode, il faut orienter le bord selon un petit angle précis par rapport à la matrice de pixels du capteur, comme le montre la figure 7. Lorsque l'entrée est une fonction en escalier plutôt qu'une source ponctuelle, la distribution de l'irradiance sur l'image correspond à une fonction d'étalement de bord. Il est alors possible de déterminer la MTF à partir de la transformée de Fourier de la dérivée de la fonction d'étalement du front.
Figure 7. Exemples de cibles permettant de mesurer expérimentalement la MTF, avec un diagramme à trois barres (à gauche) et une cible à bords obliques (à droite).
Comment calcule-t-on la MTF ?
Pour déterminer comment calculer la MTF, il faut d'abord définir la fonction d'étalement ponctuel (PSF), la fonction de transfert (TF) et leur relation avec la MTF.
La fonction de diffusion ponctuelle (PSF) d'un système d'imagerie correspond à la distribution d'irradiance obtenue lorsque l'objet est une source ponctuelle. Pour la lumière cohérente, la PSF est liée à la transformée de Fourier de l'amplitude complexe de la fonction pupillaire. Pour la lumière incohérente, la PSF est liée à la transformée de Fourier de l'intensité de la fonction pupillaire. Par conséquent, les PSF cohérente et incohérente sont liées comme suit.
où r est un vecteur de position spatiale en deux dimensions :
La fonction de transfert incohérente r d'un système linéaire et invariant par translation est donnée par la transformée de Fourier de la fonction de diffusion ponctuelle incohérente :
où p est un vecteur de fréquence spatiale bidimensionnel et F2 désigne une transformée de Fourier bidimensionnelle. La fonction de transfert peut alors s'écrire en termes de PSF cohérente comme suit :
La fonction de pupille cohérente pf(r) correspond à l'amplitude complexe du front d'onde au niveau de la sphère de la pupille de sortie. Sa phase (par rapport à la sphère de référence) est déterminée par les aberrations, tandis que son amplitude est soit égale à un à l'intérieur du contour de la pupille, soit définie par une fonction d'apodisation spécifique.
Étant donné que la fonction d'étalement cohérente (PSF) est liée à la transformée de Fourier de la fonction pupillaire cohérente pf(r), la fonction de transfert peut également s'écrire comme suit :
où B est un facteur constant qui dépend de la longueur d'onde de la source et de la distance entre la source ponctuelle et la pupille, et où le symbole ⋆ désigne l'autocorrélation. Ainsi, la fonction de transfert incohérente est liée à l'autocorrélation complexe de la fonction pupillaire. Il est pratique de normaliser la fonction de transfert par rapport à TF(0). Le résultat est appelé fonction de transfert optique (OTF) :
La fonction de transfert de modulation (MTF) est le module de la fonction de transfert optique :
Par conséquent, on peut déterminer la MTF en calculant l'autocorrélation complexe de la fonction pupillaire, ou en calculant la transformée de Fourier de la fonction de réponse en phase (PSF) incohérente. D'après la définition de la MTF, l'OTF peut s'écrire sous forme complexe comme suit :
où p(p) représente la phase. La MTF ne peut prendre que des valeurs positives, mais l'OTF peut être négative en cas d'inversion de phase. Pour l'image du motif à barres, cela entraînerait une inversion des contrastes, c'est-à-dire que les éléments blancs deviendraient sombres et les éléments sombres deviendraient clairs.
Sur un graphique MTF, la courbe MTF atteint zéro puis « rebondit ». Il est important de tenir compte de ce comportement. Après ce rebond, la MTF augmente techniquement, même si elle a atteint zéro à une fréquence inférieure. Cela peut également avoir une autre conséquence : si la MTF est utilisée dans la fonction d'erreur lors de l'optimisation, une inversion de phase peut entraîner l'apparition de minima locaux.
D'autres caractéristiques courantes du système sont le rapport de Strehl et l'erreur de front d'onde RMS. Pour les petites aberrations, la spécification du rapport de Strehl équivaut à celle de l'erreur de front d'onde RMS. Le rapport de Strehl est défini comme le rapport entre l'intensité maximale de la fonction de distribution de puissance (PSF) mesurée et l'intensité maximale de la PSF parfaite. La fonction de transfert de modulation (MTF) est liée à la transformée de Fourier inverse de la PSF incohérente.
Par conséquent, on peut exprimer le rapport de Strehl comme l'intégrale sur l'ensemble de la courbe MTF, y compris les fréquences situées au-delà de la fréquence de Nyquist (qui ne sont pas pertinentes). C'est pourquoi, lorsque la fréquence de Nyquist est bien inférieure à la limite de diffraction, il est plus judicieux de définir la MTF pour les fréquences comprises entre zéro et la fréquence de Nyquist, plutôt que de spécifier le rapport de Strehl ou l'erreur RMS du front d'onde.
Utilisation de CODE V
CODE V est un outil de conception optique performant. Ses outils d'analyse avancés permettent notamment de calculer la fonction de transfert modulaire (MTF) en évaluant l'autocorrélation de la fonction pupillaire, ainsi que la fonction de transfert de contraste (CTF) en effectuant une sommation en série des valeurs de réponse sinusoïdale.
Optimisez vos conceptions optiques avec CODE V
CODE V utilise les paramètres MTF tout au long du processus de conception pour analyser, optimiser et définir les tolérances des systèmes optiques.
Références
Découvrez les articles de blog connexes
Vous avez besoin d'aide ou vous avez des questions ?